Tentukan Invers Dari Matriks Berikut

Aljabar Linear »
Matriks ›

Teknik Mencari Invers Matriks
Matriks

Teknik Mencari Invers Matriks

Kalau A yakni matriks yang dapat dibalik, maka salah satu kaidah memperoleh invers matriks A merupakan dengan mengalikan kebalikan dari determinan matriks A terhadap adjoint matriks A tersebut.


Oleh

Tju Ji Long

· Statistisi

Hub.
WA: 0812-5632-4552

Pada artikel sebelumnya kita telah membiasakan cara
mencari determinan matriks menggunakan ekspansi kofaktor. Kita akan melanjutkan pembahasan tersebut untuk mencari invers dari suatu matriks. Ayo kita review sekelebat pembahasannya di sini:

Pengembangan Kofaktor

Jika \(A\) yakni matriks kuadrat, maka minor entri \(a_{ij}\) dinyatakan makanya \(M_{ij}\) dan didefinisikan menjadi determinan submatriks nan tetap setelah jejer ke \(i\) dan kolom ke \(j\) dicoret dari \(A\). Bilangan \((-1)^{(i + j)} M_{ij}\) dinyatakan oleh \(C_{ij}\) dan dinamakan kofaktor entri \(a_{ij}\).

Arketipe 1:

Misalkan terdapat matriks berikut.

Gambar

Tentukan minor kata kepala dan kofaktor berusul \(a_{11}\) dan \(a_{32}\).

Pembahasan:

Dari definisi yang diberikan di atas, maka minor entri \(a_{11}\) adalah

Gambar

Dengan demikian, kofaktor \(a_{11}\) yaitu

Gambar

Demikian pula, minor lema \(a_{32}\) adalah

Gambar

sehingga kofaktor \(a_{32}\) yaitu

Gambar

Perhatikan bahwa kofaktor dan minor atom \(a_{ij}\) hanya berlainan privat tandanya, yakni, \(C_{ij} = ±M_ij\). Kaidah cepat cak bagi menentukan apakah penggunaan tanda + maupun tanda – merupakan kenyataan bahwa penggunaan keunggulan yang menghubungkan \(C_{ij}\) dan \(M_{ij}\) mewah dalam baris ke \(i\) dan kolom ke \(j\) dari susunan

Gambar

Misalnya, \(C_{ij}= M_{ij}, C_{21} = -M_{21}\), \(C_{12} = -M_{12}, C_{22} = M_{22}\), dan lebih jauh.

Dengan demikian, determinan berbunga satu matriks A dapat dicari bersumber riuk satu persamaan berikut:

Gambar

Saat ini, kita akan menyinambungkan kerjakan mencari invers semenjak suatu matriks. Kita teristiadat mengenal satu istilah baru nan dinamakan adjoint. Perhatikan definisinya berikut ini.

Definisi: Adjoint

Jikalau \(A\) adalah sebarang matriks \(n × n\) dan \(C_{ij}\) adalah kofaktor \(a_{ij}\), maka matriks

Gambar

dinamakan matriks kofaktor A. Transpos matriks ini dinamakan adjoin A dan dinyatakan adj(A).

Eksemplar 2: Berburu Invers Matriks

Misalkan

Gambar

maka kofaktor A adalah

Gambar

Sehingga matriks kofaktor nya yakni

Gambar

dan adjoin A adalah

Gambar

Kita sekarang sudah lalu siap menghasilkan rumus untuk invers dari matriks yang dapat dibalik.

Teorema 1:

Jika A adalah matriks yang dapat dibalik, maka \[ A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \text{adj}(A) \]

Untuk Contoh 2 di atas, kita peroleh det(A) = 64. Dengan demikian, invers matriks A merupakan:

Gambar

Kita perhatikan bahwa untuk matriks yang lebih besar terbit \(3 × 3\) maka metode invers matriks n domestik contoh ini secara runding kurang mandraguna. Oleh karena itu, kita akan mempelajari satu teknik kembali mengenai bagaimana mencari invers dari suatu matriks yakni dengan menunggangi rabat leret.

Metode Mencari Invers Matriks dengan Reduksi Baris

Untuk mencari invers matriks A yang boleh dibalik, kita harus mencari manuver baris elementer tereduksi A dan kemudian mengamalkan operasi nan sebabat ini lega \(I_n\) untuk mendapatkan \(A^{-1}\). Sebuah metode tertinggal bakal melaksanakan prosedur ini diberikan dalam contoh berikut.

Model 4: Berburu Invers Matriks

Carilah invers berbunga

Gambar

Purwa-tama, kita sandingkan matriks identitas yang ukurannya sama dengan matriks A di jihat kanan matriks A \((A|I_n)\) seperti terlihat di bawah

Gambar (1)

Untuk mendapatkan invers matriks ini, kita akan berbuat kampanye-persuasi baris sreg kedua ruas rencana \(( A | I )\) menjadi tulangtulangan \(( I |A^{-1} )\). Episode terakhir berpokok pengoperasian jajar ini akan menghasilkan invers matriks pada ruas kanan, dan matriks identitas sreg ruas kiri. Mari kita lihat pengerjaannya di bawah ini.

Pada pertepatan (1), kita menambahkan -2 kali baris pertama puas baris kedua dan -1 kali baris permulaan sreg baris ketiga. Sehingga diperoleh,

Gambar (2)

Plong paralelisme (2), kita menambahkan 2 mungkin baris kedua pada baris ketiga, sehingga diperoleh

Gambar (3)

Sreg persamaan (3), kita mengalikan baris ketiga dengan -1, diperoleh

Gambar (4)

Puas persamaan (4), kita menambahkan 3 kali larik ketiga pada baris kedua dan -3 mana tahu baris ketiga pada baris mula-mula. Kita cak dapat

Gambar (5)

Plong persamaan (5), kita menambahkan -2 kali baris kedua sreg larik purwa.

Gambar (6)

Dengan demikian, invers berusul matriks A yakni

Gambar

Sering enggak akan diketahui sebelumnya apakah sebuah matriks bisa dibalik. Jika matriks itu tidak bisa dibalik, maka, kita tidak akan memperoleh matriks identitas \(I_n\) pada ruas kiri, melainkan matriks berbentuk eselon baris tereduksi nan adv minim-dikitnya punya sebuah baris bilangan nol.

Jadi, jika prosedur yang digunakan internal ideal ini dicoba pada matriks yang tak dapat dibalik, maka puas satu tahap internal estimasi tersebut jejer bilangan nol akan timbul pada ruas kiri. Dengan demikian, kita menyingkat bahwa matriks nan diberikan bukan dapat dibalik dan perhitungannya boleh dihentikan.

Arketipe 5: Mengejar Invers Matriks

Tinjaulah matriks

Gambar

Dengan menerapakan prosedur internal Cermin 4 akan diperoleh:

Gambar (1)

Pada persamaan (1), kita menambahkan -2 kali baris pertama ke baris kedua dan menambahkan ririt pertama ke baris ketiga. Sehingga diperoleh

Gambar (2)

Pada persamaan (2), kita menambahkan baris kedua ke baris ketiga. Sehingga diperoleh

Gambar (3)

Karena kita sudah lalu mendapatkan sebuah ririt kodrat nol lega ruas kiri, maka matriks \(A\) tidak bisa dibalik.

Sendang:

Anton, Howard & Chris Rorres. 2022. Elementary linear algebra : applications version, 11th edition. John Wiley & Sons, Inc: Hoboken, New Jersey.

Takdirnya Engkau merasa artikel ini berjasa, bantu
klik tombol suka
di asal ini dan
tuliskan komentar Anda
dengan bahasa yang benar.

Source: https://jagostat.com/aljabar-linear/teknik-mencari-invers-matriks