Vektor Proyeksi A Pada B

Blog Koma

– Pada artikel ini kita akan meributkan materi
Proyeksi Ortogonal Vektor puas Vektor. Begitu juga penjelasan puas “pengertian vektor dan penulisannya”, vektor dapat kita sajikan dalam bentuk ilmu ukur (dalah bentuk gambar nan diwakili sebuah garis berarah). Karena dalam rencana garis berarah, maka kita dapat mengamalkan proyeksi satu garis ke garis lainnya (intern hal ini yaitu vektor ke vektor). Bakal pengertian proyeksi secara mendetail, silahkan baca artikel “Pendirian Proyeksi Titik, Garis, dan Permukaan”. Sementara prolog “Ortogonal” memiliki makna yang terkait dengan
tegak lurus.
Proyeksi Ortogonal Vektor puas Vektor
menghasilkan sebuah vektor. Cak semau tiga kejadian yang akan kita bahas berkaitan dengan
Proyeksi Ortogonal Vektor pada Vektor
merupakan “proyeksi skalar vektor lega vektor (menentukan skalarnya)”, “proyeksi vektor pada vektor (menentukan vektornya)”, dan “tahapan proyeksi vektor puas vektor”. Untuk kian jelasnya, ayo kita perhatikan ilustrasi gambar “Proyeksi Ortogonal Vektor sreg Vektor” berikut ini.

Misalkan kita akan memproyeksikan vektor $ \vec{a} $ pada vektor $ \vec{b} $ seperti terlihat pada ilustrasi gambar 1 di atas.

Proyeksi Ortogonal Vektor $ \vec{a} $ pada Vektor $ \vec{b} $

menghasilkan vektor $ \vec{c} $ dimana ujung vektor $ \vec{c} $ dibatasi oleh sebuah garis tegak verbatim terhadap vektor $ \vec{b} $ yang ditarik berbunga ujung vektor $ \vec{a} $ ke vektor $ \vec{b} $
. Ada tiga situasi yang bisa kita tentukan yakni :

(I). Skalarnya yaitu segara dan arah $ \vec{c} $ terhadap vektor $ \vec{b} $,

Jika berwujud, maka $ \vec{c} $ searah dengan vektor $ \vec{b} $ dan

Jika negatif, maka $ \vec{c} $ berlawanan arah dengan vektor $ \vec{b} $
Jika besarnya nol, maka $ \vec{a} $ remang lurus $ \vec{b} $

(II). Vektor $ \vec{c} $ itu sendiri (vektor hasil proyeksi)

(III). Tingkatan vektor $ \vec{c} $ (jenjang vektor hasil proyeksinya nan nilainya camar positif).

         Bagi melincirkan mempelajari materi
Proyeksi Ortogonal Vektor puas Vektor
ini, mudahmudahan kita harus menguasai materi “multiplikasi dot dua vektor” dan “panjang vektor”, karena kedua materi ini yang berkaitan langsung pada penghitungan-penghitungan berkaitan Proyeksi Ortogonal Vektor pada Vektor.

Rumus-rumus berkaitan Proyeksi Ortogonal Vektor pada Vektor

Perhatikan ilustrasi gambar 1
Proyeksi Ortogonal Vektor sreg Vektor
di atas. Berikut rumus-rumus yang berkaitan dengan
Proyeksi Ortogonal Vektor pada Vektor, merupakan :

$ \clubsuit \, $ Proyeksi Skalar Ortogonal vektor $ \vec{a} $ pada vektor $ \vec{b} $ :

Proyeksi skalar $ = \begin{align} \frac{\vec{a}.\vec{b}}{|\vec{b}|} \end{align} $

$ \spadesuit \, $ Proyeksi vektor Ortogonal $ \vec{a} $ plong $ \vec{b} $ :

Proyeksi vektor $ = \begin{align} \left( \frac{\vec{a}.\vec{b}}{|\vec{b}|^2} \right) \vec{b} \end{align} $

$ \heartsuit \, $ Panjang Proyeksi vektor Ortogonal $ \vec{a} $ pada $ \vec{b} $ :

Panjang Proyeksi $ = \begin{align} \left| \frac{\vec{a}.\vec{b}}{|\vec{b}|} \right| \end{align} $

Catatan :

*). Bentuk $ \vec{a}.\vec{b} $ artinya perkalian dot dan $ |\vec{b}| $ ialah tinggi vektor $ \vec{b} $.

*). Trik mengingat rumusnya adalah tergantung prolog “pada” dimana vektor kedua setelah kata “pada” selalu sebagai pembagi, misalkan :

-). Proyeksi Ortogonal vektor $ \vec{b} $ sreg vektor $ \vec{a} $, rumusnya :

Proyeksi skalar $ = \begin{align} \frac{\vec{b}.\vec{a}}{|\vec{a}|} \end{align} $,

Proyeksi vektor $ = \begin{align} \left( \frac{\vec{b}.\vec{a}}{|\vec{a}|^2} \right) \vec{a} \end{align} $,

Janjang Proyeksi $ = \begin{align} \left| \frac{\vec{b}.\vec{a}}{|\vec{a}|} \right| \end{align} $ .

*). Sesuai adat perbanyakan dot merupakan $ \vec{a}.\vec{b} = \vec{b}.\vec{a} $

*). Proyeksi Ortogonal $ \vec{a} $ pada $ \vec{b} $ dapat ditulis $ \begin{align} \text{Proy}_\vec{b} \vec{a} \end{align} $.

*). Kata “Ortogonal” boleh kita tulis atau sekali lagi boleh tak karena proyeksi pasti bersimbah lurus.

*). Untuk menentukan tingkatan proyeksi vektor, kita boleh mencari adv amat hasil proyeksi vektornya kemudian menentukan panjangnya.

*). Lakukan pembuktian rumus-rumus di atas, akan kita sajikan di bagian akhir setelah contoh-contoh soalnya.

Paradigma soal
Proyeksi Ortogonal Vektor puas Vektor
:

1). Diketahui vektor $ \vec{a} = (2, -1, 3) $ dan vektor $ \vec{b} = (-1, 2, -2) $ . Tentukan :

a). Proyeksi skalar $ \vec{a} $ pada $ \vec{b} $

b). Proyeksi skalar $ \vec{b} $ pada $ \vec{a} $

c). Proyeksi vektor $ \vec{a} $ lega $ \vec{b} $

d). Proyeksi vektor $ \vec{b} $ pada $ \vec{a} $

e). Panjang proyeksi $ \vec{a} $ pada $ \vec{b} $

f). Panjang proyeksi $ \vec{b} $ sreg $ \vec{a} $

Penyelesaian :

a). Proyeksi skalar $ \vec{a} $ pada $ \vec{b} $

$ \begin{align} \text{Proyeksi skalar } & = \frac{\vec{a}.\vec{b}}{|\vec{b}|} \\ & = \frac{(2, -1, 3).(-1, 2, -2)}{\sqrt{(-1)^2 + 2^2 + (-2)^2} } \\ & = \frac{2.(-1) + -1. 2 + 3. (-2) }{\sqrt{9} } \\ & = \frac{-2 – 2 – 6 }{3} \\ & = \frac{-10}{3} \end{align} $

b). Proyeksi skalar $ \vec{b} $ lega $ \vec{a} $

$ \begin{align} \text{Proyeksi skalar } & = \frac{\vec{b}.\vec{a}}{|\vec{a}|} \\ & = \frac{(-1, 2, -2).(2, -1, 3)}{\sqrt{2^2 + (-1)^2 + 3^2} } \\ & = \frac{-1.2 + 2.(-1) + -2.3}{\sqrt{4 + 1 + 9} } \\ & = \frac{-2 – 2 – 6 }{\sqrt{14}} \\ & = \frac{-10}{\sqrt{14}} \end{align} $

c). Proyeksi vektor $ \vec{a} $ plong $ \vec{b} $

$ \begin{align} \text{Proyeksi vektor } & = \left( \frac{\vec{a}.\vec{b}}{|\vec{b}|^2} \right) \vec{b} \\ & = \left( \frac{-10}{3^2} \right) (-1, 2, -2) \\ & = \left( \frac{-10}{9} \right) (-1, 2, -2) \\ & = \left( \frac{10}{9} , -\frac{20}{9} , \frac{20}{9} \right) \end{align} $

d). Proyeksi vektor $ \vec{b} $ puas $ \vec{a} $

$ \begin{align} \text{Proyeksi vektor } & = \left( \frac{\vec{b}.\vec{a}}{|\vec{a}|^2} \right) \vec{a} \\ & = \left( \frac{-10}{(\sqrt{14})^2} \right) (2, -1, 3) \\ & = \left( \frac{-10}{14} \right) (2, -1, 3) \\ & = \left( \frac{-5}{7} \right) (2, -1, 3) \\ & = \left( -\frac{10}{7} , \frac{5}{7} , -\frac{15}{7} \right) \end{align} $

e). Tahapan proyeksi $ \vec{a} $ pada $ \vec{b} $

$ \begin{align} \text{Strata proyeksi } & = \left| \frac{\vec{a}.\vec{b}}{|\vec{b}|} \right| \\ & = \left| \frac{-10}{3} \right| \\ & = \frac{10}{3} \end{align} $

f). Panjang proyeksi $ \vec{b} $ pada $ \vec{a} $

$ \begin{align} \text{Jenjang proyeksi } & = \left| \frac{\vec{b}.\vec{a}}{|\vec{a}|} \right| \\ & = \left| \frac{-10}{\sqrt{14}} \right| \\ & = \frac{10}{\sqrt{14}} \end{align} $

2). Tentukan proyeksi vektor $ \vec{p} = (2, 4) $ puas $ \vec{q} = (6 , 2) $ dan strata proyeksi vektor itu!

Penyelesaian :

*). Misalkan hasil proyeksinya merupakan vektor $ \vec{u} $ seperti gambar berikut,

*). Menentukan proyeksi vektor $ \vec{p} $ pada $ \vec{q} $ :

$ \begin{align} \vec{u} & = \left( \frac{\vec{p}.\vec{q}}{|\vec{q}|^2} \right) \vec{q} \\ & = \left( \frac{2.6 + 4.2}{(\sqrt{6^2 + 2^2})^2} \right) (6 , 2) \\ & = \left( \frac{12 + 8}{(\sqrt{40})^2} \right) (6 , 2) \\ & = \left( \frac{20}{40} \right) (6 , 2) \\ & = \left( \frac{1}{2} \right) (6 , 2) \\ & = (3 , 1) \end{align} $

Sehingga vektor proyeksinya adalah $ (3, 1) $.

*). Menentukan tahapan vektor proyeksinya :

Panjang proyeksi $ = \sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{10} $.

Sehingga janjang vektor proyeksinya yakni $ \sqrt{10} $.

Garitan :

Untuk menentukan panjang proyeksi plong contoh tanya nomor 2 ini, kita tidak perlu mencari hasil vektor proyeksinya lebih lagi dahulu, melainnya bisa langsung memperalat rumus pangkat proyeksi vektornya yaitu :

Panjang proyeksi $ = \left| \frac{\vec{p}.\vec{q}}{|\vec{q}|} \right| = \frac{20}{\sqrt{40}} = \frac{20}{40} \sqrt{40} = \frac{1}{2}. 2\sqrt{10} = \sqrt{10} $.

3). Diketahui noktah-titik $ A(-3,1,2) $ , $ B(2,2,1) $ dan $ C(-1,0,3)$. Tentukan proyeksi vektor $ \vec{AB} $ pada $ \vec{BC} $!

Penyelesaian :

*). Menentukan $ \vec{AB} $ dan $ \vec{BC} $ :

$ \vec{AB} = B – A = (2 – (-3) , 2 – 1, 1 – 2) = (5, 1, -1) $

$ \vec{BC} = C – B = (-1 – 2 , 0-2, 3 – 1) = (-3, -2, 2) $.

*). Hasil proyeksi vektor $ \vec{AB} $ plong $ \vec{BC} $ misalkan $ \vec{r} $ :

$ \begin{align} \vec{r} & = \left( \frac{\vec{AB}.\vec{BC}}{|\vec{BC}|^2} \right) \vec{BC} \\ & = \left( \frac{5.(-3) + 1.(-2) + -1.2}{(\sqrt{(-3)^2 + (-2)^2 + 2^2})^2} \right) (-3, -2, 2) \\ & = \left( \frac{-15 – 2 – 2}{(\sqrt{9 + 4 + 4})^2} \right) (-3, -2, 2) \\ & = \left( \frac{-19}{(\sqrt{17})^2} \right) (-3, -2, 2) \\ & = \left( \frac{-19}{17} \right) (-3, -2, 2) \\ & = \left( \frac{57}{17} , \frac{38}{17} , -\frac{38}{17} \right) \end{align} $

Jadi, hasil proyeksinya yaitu $ \left( \frac{57}{17} , \frac{38}{17} , -\frac{38}{17} \right) $.

4). Diketahui vektor-vektor $ \vec{u} = (-1,1,-4) $ dan $ \vec{v} = ( 2, -1,3) $ . Tentukan proyeksi skalar dan proyeksi vektor $ (2\vec{u} + 3\vec{v}) $ plong $ -2\vec{v} $!

Penyelesaian :

*). Bakal melampiaskan dan penyingkatan intern penulisan, kita misalkan :

$ \vec{a} = (2\vec{u} + 3\vec{v}) = (-2,2,-8) + ( 6, -3,9) = (4, -1 , 1) $

$ \vec{b} = -2 \vec{v} = ( -4, 2,-6) $

Yang kita cari sama saja proyeksi skalar dan proyeksi vektor $ \vec{a} $ puas $ \vec{b} $.

*). Menentukan proyeksi skalar $ \vec{a} $ pada $ \vec{b} $

$ \begin{align} \text{Proyeksi skalar } & = \frac{\vec{a}.\vec{b}}{|\vec{b}|} \\ & = \frac{4.(-4) + (-1). 2 + 1. (-6)}{\sqrt{(-4)^2 + 2^2 + (-6)^2} } \\ & = \frac{-16 – 2 – 6}{\sqrt{16 + 4 + 36 } } \\ & = \frac{-24}{\sqrt{56} } \\ & = \frac{-24}{56} \sqrt{56} \\ & = -\frac{3}{7} \sqrt{56} \end{align} $

sehingga proyeksi skalarnya adalah $ -\frac{3}{7} \sqrt{56} $.

*). Menentukan proyeksi vektor $ \vec{a} $ pada $ \vec{b} $

Kita gunakan hasil di atas :

$ \begin{align} \text{Proyeksi vektor } & = \left( \frac{\vec{a}.\vec{b}}{|\vec{b}|^2} \right) \vec{b} \\ & = \left( \frac{-24}{(\sqrt{56})^2} \right) ( -4, 2,-6) \\ & = \left( \frac{-24}{56} \right) ( -4, 2,-6) \\ & = \left( -\frac{3}{7} \right) ( -4, 2,-6) \\ & = \left( \frac{12}{7}, -\frac{6}{7}, \frac{18}{7} \right) \end{align} $

Sehingga hasil proyeksi vektornya adalah $ \left( \frac{12}{7}, -\frac{6}{7}, \frac{18}{7} \right) $.

5). Diketahui vektor $ \vec{p} = 2\vec{i}+\vec{j} +2\vec{k} $ dan $ \vec{q} = 3\vec{i} + b\vec{j} + \vec{k} $. Jika $ |\vec{r}| $ adalah panjang proyeksi vektor $ \vec{q} $ lega $ \vec{p} $ dan $ |\vec{r}| = 4 $, maka tentukan nilai $ b $!

Penyelesaian :

*). Diketahui vektor $ \vec{p} = (2, 1, 2) $ dan $ \vec{q} = (3, b, 1) $ .

*). Menentukan skor $ b $ dengan proyeksi ortogonal $ \vec{q} $ puas $ \vec{p} $ :

$ \begin{align} \text{Strata proyeksi } & = \left| \frac{\vec{q}.\vec{p}}{|\vec{p}|} \right| \\ |\vec{r}| & = \left| \frac{\vec{q}.\vec{p}}{|\vec{p}|} \right| \\ 4 & = \left| \frac{ 2.3 + 1.b + 2.1 }{ \sqrt{2^2 + 1^2 + 2^2 } } \right| \\ 4 & = \left| \frac{ b + 8 }{ \sqrt{9} } \right| \\ 4 & = \left| \frac{ b + 8 }{ 3 } \right| \\ | b + 8 | & = 12 \\ b & = 4 \vee b = -20 \end{align} $

Jadi, nilai $ b $ yang mungkin adalah $ b = -20 $ atau $ b = 4 $.

6). Tentukan proyeksi vektor $ \vec{a} = (2,0,1) $ pada vektor $ \vec{b} $ yang setolok dan sama tahapan tetapi berlawanan jihat dengan vektor $ \vec{c} = (0, 2, -2 ) $ !

Penyelesaian :

*). Vektor $ \vec{b} = – \vec{c} = -(0, 2, -2) = (0, -2, 2) $.

*). Menentukan proyeksi vektor $ \vec{a} $ puas $ \vec{b} $ :

$ \begin{align} \text{Proyeksi vektor } & = \left( \frac{\vec{a}.\vec{b}}{|\vec{b}|^2} \right) \vec{b} \\ & = \left( \frac{2.0 + 0. (-2) + 1.2}{(\sqrt{0^2 + (-2)^2 + 2^2 })^2 } \right) (0, -2, 2) \\ & = \left( \frac{2}{(\sqrt{8 })^2 } \right) (0, -2, 2) \\ & = \left( \frac{2}{8 } \right) (0, -2, 2) \\ & = \left( \frac{1}{4 } \right) (0, -2, 2) \\ & = \left( 0, -\frac{1}{2} , \frac{1}{2} \right) \end{align} $

Jadi, hasil proyeksi vektornya adalah $ \left( 0, -\frac{1}{2} , \frac{1}{2} \right) $.

7). Diketahui $ \vec{a} = (4, 2, -3) $ dan $ \vec{b} = (-1, 2, -2) $. Vektor $ \vec{c} $ merupakan proyeksi ortogonal vektor $ \vec{a} $ pada $ \vec{b} $. Jika $ \vec{u} = ( -1, 1, z) $ n kepunyaan panjang yang begitu juga vektor $ \vec{c} $ , maka tentukan nilai $ z $!

Penyelesaian :

*). Menentukan hierarki vektor $ \vec{u} $ :

$ |\vec{u}| = \sqrt{(-1)^2 + 1^2 + z^2 } = \sqrt{z^2 + 2} $

*). Menentukan panjang proyeksi vektor $ \vec{a} $ pada $ \vec{b} $ (tangga vektor $ \vec{c}$) :

$ \begin{align} \text{Tahapan proyeksi } & = \left| \frac{\vec{a}.\vec{b}}{|\vec{b}|} \right| \\ |\vec{c}| & = \left| \frac{4.(-1) + 2.2 + (-3). (-2) }{\sqrt{(-1)^2 + 2^2 + (-2)^2 } } \right| \\ & = \left| \frac{-4 + 4 + 6}{\sqrt{9} } \right| \\ & = \left| \frac{6}{3} \right| \\ & = 2 \end{align} $

*). Menentukan nilai $ z $ dengan $ |\vec{u}| = |\vec{c}| $ :

$ \begin{align} |\vec{u}| & = |\vec{c}| \\ \sqrt{z^2 + 2} & = 2 \, \, \, \, \, \text{(kuadratkan)} \\ (\sqrt{z^2 + 2})^2 & = 2^2 \\ z^2 + 2 & = 4 \\ z^2 & = 2 \\ z & = \pm 2 \end{align} $

Makara, angka $ z = -\sqrt{2} $ atau $ z = \sqrt{2} $ .

8). Diketahui $ \vec{a} = (-4, 2) $ dan $ \vec{b} = ( 3, x ) $, $ x $ predestinasi bulat positif. Vektor $ \vec{q} $ merupakan proyeksi $ \vec{a} $ ke $ \vec{b} $ dan $ \theta $ sudut yang dibentuk oleh $ \vec{a} $ dan $ \vec{q} $. Jikalau $ \cos \theta = \frac{1}{\sqrt{2}} $ , maka tentukan $ \vec{q} $!

Penyelesaian :

*). Vektor $ \vec{q} $ merupakan hasil proyeksi $ \vec{a} $ ke $ \vec{b} $, artinya $ \vec{q} $ terletak lega vektor $ \vec{b} $ sehingga ki perspektif antara $ \vec{a} $ dan $ \vec{q} $ sama belaka dengan sudut antara $ \vec{a} $ dan $ \vec{b} $ .

*). Kita n kepunyaan rumus $ \vec{a}.\vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}| \cos \theta $

*). Menentukan nilai $ x $ dengan perkalian dot :

$ \begin{align} \vec{a}.\vec{b} & = |\vec{a}||\vec{b}| \cos \theta \\ (-4, 2).( 3, x ) & = \sqrt{(-4)^2 + 2^2} . \sqrt{3^2 + x^2} . \frac{1}{\sqrt{2}} \\ -4.3 + 2.x & = \sqrt{20} . \sqrt{x^2 + 9} . \frac{1}{\sqrt{2}} \\ -4.3 + 2.x & = \frac{\sqrt{20} }{\sqrt{2}} . \sqrt{x^2 + 9} \\ -12 + 2x & = \sqrt{10} . \sqrt{x^2 + 9} \, \, \, \, \, \, \text{(kuadratkan)} \\ 4x^2 – 48x + 144 & = 10(x^2 + 9) \\ 4x^2 – 48x + 144 & = 10x^2 + 90 \\ 6x^2 + 48x -54 & = 0 \\ x^2 + 8x -9 & = 0 \\ (x + 9)(x-1) & = 0 \\ x = -9 \vee x = 1 \end{align} $

Karena $ x $ positifi, maka $ x = 1 $ yang memenuhi.

Sehingga vektor $ \vec{a} = (-4, 2) $ dan $ \vec{b} = ( 3, x ) = ( 3, 1) $.

*). Menetukan vektor $ \vec{q} $ yaitu proyeksi vektor $ \vec{a} $ ke $ \vec{b} $ :

$ \begin{align} \text{Proyeksi vektor } & = \left( \frac{\vec{a}.\vec{b}}{|\vec{b}|^2} \right) \vec{b} \\ \vec{q} & = \left( \frac{-4.3 + 2.1}{(\sqrt{3^2 + 1^2})^2 } \right) ( 3, 1) \\ & = \left( \frac{-10}{(\sqrt{10})^2 } \right) ( 3, 1) \\ & = \left( \frac{-10}{10} \right) ( 3, 1) \\ & = \left( -1\right) ( 3, 1) \\ & = (-3,-1) \end{align} $

Jadi, hasil proyeksi vektornya adalah $ \vec{q} = (-3,-1) $.

9). Diketahui vektor $ \vec{u} $ dan vektor $ \vec{v} $ membentuk sudut $ \theta $. Jika tingkatan proyeksi $ \vec{u} $ dan $ \vec{v} $ separas dengan tiga kali pangkat $ \vec{v} $ , maka tentukan perbandingan strata $ \vec{u} $ terhadap panjang $ \vec{v} $!

Penyelesaian :

*). Diketahui tinggi proyeksi $ \vec{u} $ dan $ \vec{v} = 3|\vec{v}| $

*). Menentukan perbandingannya dengan pangkat proyeksi $ \vec{u} $ dan $ \vec{v} $ dan rumus perkalian dot :

$ \begin{align} \text{Panjang proyeksi } & = \left| \frac{\vec{u}.\vec{v}}{|\vec{v}|} \right| \\ 3|\vec{v}| & = \left| \frac{|\vec{u}||\vec{v}| \cos \theta }{|\vec{v}|} \right| \\ 3|\vec{v}| & = \left| |\vec{u}| \cos \theta \right| \\ 3|\vec{v}| & = |\vec{u}| \cos \theta \\ \frac{3}{ \cos \theta } & = \frac{ |\vec{u}| }{|\vec{v}|} \end{align} $

Jadi, perimbangan panjang $ \vec{u} $ terhadap jenjang $ \vec{v} $ adalah $ |\vec{u}| : |\vec{v}| = 3 : \cos \theta $.

10). Diketahui vektor $ \vec{a} $ dan vektor $ \vec{b} $ menciptakan menjadikan tesmak $ \theta $. Jika janjang proyeksi vektor $ \vec{b} $ pada $ \vec{a} $ sebagai halnya $ 2 \sin \theta $ dan panjang vektor $ \vec{b} $ ialah 1, maka tentukan $ \tan 2\theta $!
(Soal UM-UGM)

Penyelesaian :

*). Rumus dasar trigonometri :

$ \tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} $ dan $ \tan 2 \theta = \frac{2\tan \theta}{1 – \tan ^2 \theta } $

*). Diketahui panjang proyeksi $ \vec{b} $ lega $ \vec{a} = 2 \sin \theta $.

*). Tingkatan proyeksi vektor $ \vec{b} $ pada $ \vec{a} $ dan perkalian dot :

$ \begin{align} \text{Panjang proyeksi } & = \left| \frac{\vec{b}.\vec{a}}{|\vec{a}|} \right| \\ 2 \sin \theta & = \left| \frac{|\vec{b}||\vec{a}| \cos \theta}{|\vec{a}|} \right| \\ 2 \sin \theta & = \left| |\vec{b}| \cos \theta \right| \\ 2 \sin \theta & = 1. \cos \theta \\ 2 \sin \theta & = \cos \theta \\ \frac{ \sin \theta }{\cos \theta } & = \frac{1}{2} \\ \tan \theta & = \frac{1}{2} \end{align} $

*). Menetukan ponten $ \tan 2\theta $ :

$\begin{align} \tan 2 \theta = \frac{2\tan \theta}{1 – \tan ^2 \theta } = \frac{2. \frac{1}{2}}{1 – (\frac{1}{2})^2} = \frac{1}{1 – \frac{1}{4}} = \frac{1}{\frac{3}{4}} = \frac{4}{3} \end{align} $.

Makara, nilai $ \tan 2\theta = \frac{4}{3} $.

$ \spadesuit \, $ Pembuktian rumus-rumus berkaitan Proyeksi Ortogonal Vektor pada Vektor :

Perhatikan gambar ilustrasi I di bawah ini.

Vektor $ \vec{a} $ dan $ \vec{c} $ menciptakan menjadikan sudut $ \theta $ dan terpelajar segitiga kelokan-siku.

sehingga $ \cos \theta = \frac{|\vec{c}|}{|\vec{a}|} $

*). Validasi rumus proyeksi skalar $ \vec{a} $ sreg $ \vec{b} $ dan panjangnya :

-). Perkalian dot $ \vec{a} $ dan $ \vec{b} $ :

$ \begin{align} \vec{a} . \vec{b} & = |\vec{a}|| \vec{b}| \cos \theta \\ \vec{a} . \vec{b} & = |\vec{a}|| \vec{b}| \frac{|\vec{c}|}{|\vec{a}|} \\ \vec{a} . \vec{b} & = |\vec{b}|| \vec{c}| \\ |\vec{c}| & = \frac{ \vec{a} . \vec{b} }{ |\vec{b}|} \end{align} $

-). Karena $ \vec{a} . \vec{b} $ nilainya bisa aktual atau negatif, sementara buram $ |\vec{c}| $ menyatakn panjang vektor $ \vec{c} $ yang nilainya majuh popsitif, maka tulangtulangan $ \frac{ \vec{a} . \vec{b} }{ |\vec{b}|} $ menghasilkan ki akbar (panjangnya) dan arah (positif atau merusak). Besarnya belaka kita sebut sebagai panjang proyeksinya (panjang vektor $ \vec{c}$) yang selalu positif, sementara besar dan arah kita sebut andai proyeksi skalar dengan rumusnya yaitu :

Proyeksi skalar $ = \begin{align} \frac{\vec{a}.\vec{b}}{|\vec{b}|} \end{align} $

Hierarki Proyeksi $ = \begin{align} \left| \frac{\vec{a}.\vec{b}}{|\vec{b}|} \right| \end{align} $

*). Pembuktian rumus proyeksi vektor $ \vec{a} $ pada $ \vec{b} $ :

-). Pada pembenaran di atas, kita sudah memperoleh proyeksi skalar $ \vec{a} $ pada $ \vec{b} $ yaitu besar dan sebelah $ \vec{c} $. Karena skalar $ \vec{c} $ sudah kita cak dapat dan $ \vec{c} $ berimpit dengan vektor $ \vec{b} $ maka vektor $ \vec{c} $ adalah hasil berpokok perkalian skalarnya dengan vektor runcitruncit dari vektor $ \vec{b} $.

$ \begin{align} \vec{c} & = (\text{skalar }) \vec{e}_\vec{b} \\ & = \left( \frac{\vec{a}.\vec{b}}{|\vec{b}|} \right) \frac{\vec{b}}{|\vec{b}|} \\ & = \left( \frac{\vec{a}.\vec{b}}{|\vec{b}|^2} \right) \vec{b} \end{align} $

Sehingga rumus proyeksi vektor $ \vec{a} $ pada $ \vec{b} $ :

Proyeksi vektor $ = \begin{align} \left( \frac{\vec{a}.\vec{b}}{|\vec{b}|^2} \right) \vec{b} \end{align} $

*). Konfirmasi cara II rumus proyeksi vektor :

-).puas ilustrasi gambar, misalkan garis kotok-putus dandan merah kita anggap laksana sebuah vektor $ \vec{d} $ yang tegak verbatim vektor $ \vec{b} $, sehingga $ \vec{d} . \vec{b} = 0 $. Berdasarkan penjumlahan vektor secara geometri adalah aturan segitiga kita songsong $ \vec{a} = \vec{c} + \vec{d} $.

-). Vektor $ \vec{c} $ ekuivalen vektor $ \vec{b} $ sehingga $ \vec{c} = n \vec{b} $ dan sudutnya $ 0^\circ $.

$ \vec{b}. \vec{c} = |\vec{b}||n\vec{b}| \cos 0^\circ = cakrawala|\vec{b}|^2 $

-). Menentukan nilai $ n $ dengan perkalian dot dan adat pergandaan dot :

$ \begin{align} \vec{a} . \vec{b} & = (\vec{c} + \vec{d}) . \vec{b} \\ \vec{a} . \vec{b} & = \vec{c}. \vec{b} + \vec{d} . \vec{b} \\ \vec{a} . \vec{b} & = \vec{c}. \vec{b} + 0 \\ \vec{a} . \vec{b} & = \vec{c}. \vec{b} \\ \vec{a} . \vec{b} & = lengkung langit|\vec{b}|^2 \\ horizon & = \frac{\vec{a} . \vec{b}}{|\vec{b}|^2} \end{align} $

sehingga vektor $ \vec{c} $ yaitu :

$ \begin{align} \vec{c} & = lengkung langit \vec{b} = \left( \frac{\vec{a} . \vec{b}}{|\vec{b}|^2} \right) \vec{b} \end{align} $

Jadi, rumus Proyeksi vektor $ = \begin{align} \left( \frac{\vec{a}.\vec{b}}{|\vec{b}|^2} \right) \vec{b} \end{align} $ .

       Demikian pembahasan materi
Proyeksi Ortogonal Vektor pada Vektor
dan teoretis-contohnya. Silahkan pun baca materi lain nan berkaitan dengan “materi vektor tingkat SMA” yaitu “komponen samar muka lurus vektor puas vektor”.

Source: https://www.konsep-matematika.com/2017/11/proyeksi-ortogonal-vektor-pada-vektor.html